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SUJET: (Jeu 03) : Le singe sur sa machine à écrire...
   10/03/11 à 13:22 #20853
Bilboquet
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 (Jeu 03) : Le singe sur sa machine à écrire...
Pour ce troisième jeu "maths et stats au quotidien" destiné à entraîner nos neurones logiciennes de zététiciens, je vous propose un cas complètement débile, mais au résultat intéressant ma foi ma foi ma foi.
Le voici :
Un savant mystique et pervers qui a trop lu Borges et Asimov crée une machine à écrire à vingt-six touches. Sur chacune de ces touches se trouve une lettre (et quand on tape la touche, la lettre inscrite sur la touche est tapée, pas d'arnaque là dessus, et d'ailleurs vous allez voir on s'en fout). Une machine à écrire à vingt-six touches tout ce qu'il y a de plus banal, quoi.
Bon.
Ce savant mystique possède un singe (que l'on supposera générateur aléatoire parfait) .
Le singe tape au hasard sur la machine à écrire, à raison d'une lettre par seconde. Toutes les 26 lettres ont même probabilité (promis), et le choix de chacune est indépendant des précédentes lettres tapées.
On appelle t1 le temps moyen qu'il faut attendre pour que le singe tape le mot « abracadabra », et t2 le temps moyen pour le mot « abracadabrx ».

La question (Jeu03) est la suivante : A-t-on t1<t2, t1=t2 ou bien t1>t2 ?

Vous pouvez répondre avec des maths ou juste avec des mots.
Le prochain jeu aura un rapport direct avec le jeu des boîtes d'Arthur, je suis sûr que vous êtes impatient, hein, comment ça pas plus que ça, non, vraiment, ah bon ok d'accord mais vous y aurez droit quand même, hein...

Note : Merci à Nicolas pour m'avoir transmis le problème !
 
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   10/03/11 à 13:26 #20856
saxncat
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 Re:(Jeu 03) : Le singe sur sa machine à écrire...
Vu le postulat de l'indépendance des tirages, toutes les séquences de 11 lettres ont la même probabilité.
 

La terre porte deux sortes d'hommes, des hommes intelligents sans religion et des hommes religieux sans intelligence. - [Abu’l Ala al Ma’arri]

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   10/03/11 à 13:36 #20860
Bilboquet
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 Re:(Jeu 03) : Le singe sur sa machine à écrire...
saxncat écrit:
[quote]toutes les séquences de 11 lettres ont la même probabilité.[/qu<ote]<
Je suis d'accord avec le fait que onze lettres étant tirées au hasard, une séquence de onze lettres prédéfinies à autant de chance qu'une autre d'apparaître (ce que tu dis, donc). Mais tu ne réponds pas là à la question,
Attention Spoiler!
.
 
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   10/03/11 à 13:57 #20861
Michel Mipoivre
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 Re:(Jeu 03) : Le singe sur sa machine à écrire...
même en retournant le problème dans tous les sens, je ne vois rien d'autre que :
- "abracadabra" fait 11 lettres
- "abracadabrx" en fait 11 aussi.
- seule la dernière lettre change.
- la racine commune "abracadabr" prendra donc un temps t' à être tapée.
On note t1=t'+t'1 et t2=t'+t'2 avec t'1 le temps pour obtenir le "a" final et t'2 le temps pour obtenir le "x" final.
La dernière lettre, "a" ou "x" n'est qu'un choix parmi 26, 1/26 chance d'être tirée chacune une fois que "abracadabr" est tapée.
Donc t'1=t'2
Et t1=t2

C'est une façon très tordue de dire exactement la même chose que saxncat.

A moins que tu n'ais un singe "David Guetta" qui frappe compulsivement sur le A bien sûr...
 
Dernière édition: 10/03/11 à 13:59 Par Michel Mipoivre.
Qui ne saute pas n'est pas un mustélidé forestier !!
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   10/03/11 à 14:15 #20862
saxncat
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 Re:(Jeu 03) : Le singe sur sa machine à écrire...
Bilboquet écrit:
[quote]saxncat écrit:
toutes les séquences de 11 lettres ont la même probabilité.[/qu<ote]<
Je suis d'accord avec le fait que onze lettres étant tirées au hasard, une séquence de onze lettres prédéfinies à autant de chance qu'une autre d'apparaître (ce que tu dis, donc). Mais tu ne réponds pas là à la question,
Attention Spoiler!
.


OK, on doit avoir quelque chose qui ressemble à une distribution de Poisson (moi aussi je connais des gros mots), t1=t2
 

La terre porte deux sortes d'hommes, des hommes intelligents sans religion et des hommes religieux sans intelligence. - [Abu’l Ala al Ma’arri]

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   10/03/11 à 14:29 #20863
Bilboquet
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 Re:(Jeu 03) : Le singe sur sa machine à écrire...
Oh, je n'attends ni Poisson ni Jambon...
Attention Spoiler!
 
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   10/03/11 à 14:32 #20865
npatrois
Faut pas croire, faut savoir.
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 Re:(Jeu 03) : Le singe sur sa machine à écrire...
Pourtant, le singe a déjà pondu un site ouèbe.
 
L’homme descend du singe, or l’homme est fait à l’image de Dieu. Donc Dieu est King Kong.
-+- Cavanna, François -+-
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   10/03/11 à 14:33 #20866
Bilboquet
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 Re:(Jeu 03) : Le singe sur sa machine à écrire...
Michel Mipoivre écrit:
- la racine commune "abracadabr" prendra donc un temps t' à être tapée.
On note t1=t'+t'1 et t2=t'+t'2 avec t'1 le temps pour obtenir le "a" final et t'2 le temps pour obtenir le "x" final.
La dernière lettre, "a" ou "x" n'est qu'un choix parmi 26, 1/26 chance d'être tirée chacune une fois que "abracadabr" est tapée....


L'astuce se trouve quelque part dans l'extrait de ton analyse. Si tu détailles bien, mot à mot, il y a quelque chose que tu ne prends pas en compte... Par ailleurs, la notion de "temps moyen" est assez cruelle.
Ce problème fait partie des exercices donnés aux élèves de l'Ecole Normale Supérieure, et le fait que certains d'entre eux trouvent du premier coup la bonne réponse maths à l'appui me fait très peur quant à la déformation profonde et violente de leur cortex brillant.

A moins que tu n'ais un singe "David Guetta" qui frappe compulsivement sur le A bien sûr...

Tiens, c'est vrai, j'aurais pu proposer le problème de façon musicale,
Attention Spoiler!
. Cause tonight gonna be a good good night yeaaah eaaah tut tut tut tut tut tut tut tut tut tut tut tut tut...
 
Dernière édition: 10/03/11 à 14:47 Par Bilboquet.
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   10/03/11 à 14:38 #20867
Bilboquet
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 Re:(Jeu 03) : Le singe sur sa machine à écrire...
npatrois écrit:
Pourtant, le singe a déjà pondu un site ouèbe.

Quelle ne fut pas ma surprise de découvrir que zarma, J'ai été inventé par l'un d'eux (illustration de la section du bas à droite) !!! desencyclopedie.wikia.com/wiki/Singe_savant
Déchéance et consternatiojfdljsghim... :-)
 
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   10/03/11 à 14:51 #20868
Bilboquet
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 Re:(Jeu 03) : Le singe sur sa machine à écrire...
Bilboquet écrit:
L'astuce se trouve quelque part dans l'extrait de ton analyse. Si tu détailles bien, mot à mot, il y a quelque chose que tu ne prends pas en compte... Par ailleurs, la notion de "temps moyen" est assez cruelle.
Ce problème fait partie des exercices donnés aux élèves de l'Ecole Normale Supérieure, et le fait que certains d'entre eux trouvent du premier coup la bonne réponse maths à l'appui me fait très peur quant à la déformation profonde et violente de leur cortex brillant.


Aussi étonnant que cela paraisse a priori, la variable T1-T2 a une espérance strictement non nulle (vous devez trouver pourquoi...). En revanche, cette variable a une médiane nulle, ce qui est probablement la source de la confusion (il est aussi fréquent que « abracadabra » apparaisse avant qu'après « abracadabrx »).

Un cas simplifié (Jeu 03bis, donc)
Supposons qu'il n'y ait que deux lettres, a et x, sur une machine à écrire n°2 (encore plus foutraque que la n°1). On considère alors les deux mots « aa » (t1 l'espérance du temps qu'il faut attendre pour voir « aa » apparaître) et « ax » (t2 l'espérance correspondante). Même question qu'au jeu 03...
 
Dernière édition: 10/03/11 à 14:54 Par Bilboquet.
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