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La nécessité du hasard - Tirage aléatoire sans contrainte Imprimer Envoyer
Écrit par Florent TOURNUS   
Dimanche, 06 Avril 2008 01:00
Index de l'article
La nécessité du hasard
Qu'est-ce qu'une série aléatoire ?
Nous sommes de mauvais générateurs aléatoires
Le principe d'un test
Pourquoi utiliser un tirage au sort ?
Répondre par hasard, oui, mais comment ?
Tous les tirages au sort ne se valent pas
Une probabilité de réussite, conditionnelle
Une ou plusieurs expériences ?
Martingale ? Vous avez dit martingale ?
Tirage aléatoire sans contrainte
Un tirage peut-il nuire à l'expression d'un phénomène ?
Mauvais tirage et échec de test
Une situation dissymétrique
Pour résumer : l'essentiel à retenir
Toutes les pages

Avec un tirage aléatoire sans contrainte, toutes les stratégies sont équivalentes


Bien que, pour une expérience donnée, la stratégie optimale ne soit pas forcément d'« épouser » la contrainte, c'est-à-dire la structure de la « bonne réponse » [77], on pourrait penser qu'en reproduisant dans ses réponses la « structure » du hasard (c'est-à-dire certaines des caractéristiques rencontrées dans la plupart des cas), alors on augmente ses chances de réussite... Par exemple, on pourrait tenir le raisonnement suivant. L'issue la plus probable [78], quand on lance 10 fois une pièce de monnaie est de tomber 5 fois sur « pile » et 5 fois sur « face ». Donc, en prédisant une combinaison constituée de 5 « pile » et 5 « face », j'ai plus de chances d'obtenir un bon score (nombre de fois où je tombe juste) qu'en prédisant par exemple 10 fois « pile » (qui a bien moins de chance d'arriver par hasard). Mais ce raisonnement intuitif [79] est faux !

La façon la plus simple de le voir est de tout simplement dénombrer les différentes possibilités : en se fixant une série particulière choisie par le « sujet psi », regardons combien de séries, parmi toutes les possibilités, correspondent à un score k donné. La probabilité d'avoir un score k sera alors [80] N(k)/Ntot, en notant N(k) le nombre de séries donnant un score k et Ntot le nombre total de séries (qui vaut 210, c'est-à-dire 1024). Pour le score maximum k=10, il n'y a qu'une seule possibilité : la série tirée au sort doit être celle choisie par le « sujet psi ». La probabilité d'avoir par hasard un score de 10 est donc de 1 chance sur 1024, et ce, quelle que soit la série choisie par le « sujet psi ». Pour une autre valeur de k, le nombre de séries correspondant à ce score est égal aux nombre de façons qu'on a de prendre k éléments (ceux qui seront identiques dans la série tirée au sort et dans la série choisie) parmi 10. Là encore, la série choisie par le « sujet psi » n'a aucune influence : N(k) ne dépend pas du choix effectué [81]. Puisque la distribution des scores est la même dans tous les cas, quelle que soit la prédiction, toutes les prédictions sont équivalentes ! Il n'y en a pas qui augmente la probabilité d'avoir un certain score (ou qui augmente le score moyen), et en particulier miser sur une série comportant 5 « pile » et 5 « face » ne donne aucun avantage. Si vous n'êtes toujours pas convaincu par ce raisonnement général (l'intuition est parfois coriace !), le mieux est de calculer vous-même N(k), c'est-à-dire compter le nombre de tirages qui donnent un score k, pour une certaine prédiction, puis pour une autre. Vous vous apercevrez que chaque prédiction donne les mêmes valeurs de N(k), et donc qu'elles sont toutes équivalentes ! Forcément, faire ça à la main est assez laborieux : il faut se restreindre à une petite série, de 4 tirages par exemple... Avant de poursuivre, voici encore une autre façon très simple de voir que le choix de la série n'a en fait aucune influence. Considérons chacun des k tirages de la série, un par un : pour chaque tirage, il y a toujours une chance sur deux de tomber juste, et ce, quelle que soit la série choisie !

Retenons bien ce résultat : lorsque la « bonne réponse » n'est soumise à aucune contrainte, et qu'elle est déterminée par un tirage aléatoire, il n'existe aucune stratégie permettant d'augmenter sa probabilité d'avoir par hasard un score donné.

 


Notes (cliquez sur les nombres pour revenir dans le texte là où vous en étiez)

[77] Sauf si on vise le score maximum, ce qui n'est pas forcément nécessaire pour réussir un test (c'est-à-dire pour avoir un résultat jugé non conforme au hasard).

[78] Même s'il est finalement plus probable de ne pas tomber dessus : en effet, la probabilité d'avoir exactement 5 « pile » et 5 « face » est de 24,6 %, ce qui signifie que l'on a 75,4 % de chance de ne pas avoir 5 « pile » et 5 « face » !

[79] Que beaucoup doivent tenir, sans forcément s'en rendre compte... C'est sûrement lui qui fait qu'on prédira moins volontiers une série de 10 « pile ». Cela est lié par ailleurs à notre mauvaise représentation du hasard : donner une combinaison au hasard doit être équivalent, pour nous, à essayer d'obtenir le meilleur score pour une expérience de tirages à « pile ou face ». Comme on s'imagine que, pour une telle expérience, il est plus pertinent de prédire PPFPFFFPFP que PPPPPPPPPP (où P représente « pile » et F « face), on estime que la première série est plus « aléatoire » que la seconde. Ainsi, alors que ces deux séries sont en réalité équiprobables, les probabilités qu'elles soient choisies « par hasard » par un individu doivent être très différentes !

[80] Puisque, par hypothèse, chaque série parmi les Ntot possibles a autant de chance d'être tirée au sort.

[81] On retrouve finalement dans tous les cas que la distribution des scores suit la loi binomiale.